Hola, veamos un método analítico para resolver la integral siguiente:
Para ello lo que haremos es elevar al cuadrado dicha integral, obteniendo así una integral doble de la siguiente forma:
Esto lo podemos hacer gracias a que la función exponencial a integrar es una función Integrable Lebesgue y como consecuencia de la aplicación del Teorema de Fubini. Así pues tenemos:
Ahora aplicaremos el Teorema del Cambio de Variable Para Varias Variables Reales mediante el cambio 
Como la función exponencial 
![\left [0,\frac{\pi}{2}\right ] \times \left [0,\infty\right ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%20%5B0%2C%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cright%20%5D%20%5Ctimes%20%5Cleft%20%5B0%2C%5Cinfty%5Cright%20%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\left [0,\frac{\pi}{2}\right ] \times \left [0,\infty\right ]")
![I^2 = \left ( \int_0^{\frac{\pi}{2}}\, d\theta \right ) \left ( \int_0^{\infty}\rho e^{-\rho^2}\, d\rho \right ) = \frac{\pi}{2}\int_0^{\infty}\rho e^{-\rho^2}\, d\rho = \frac{\pi}{2}\left (-\frac{1}{2} \right )\int_0^{\infty}2\rho e^{-\rho^2}\, d\rho = -\frac{\pi}{4}\left [ e^{-\rho^2}-1\right ]_0^{\infty} =-\frac{\pi}{4}\left (\lim_{\rho \to \infty}e^{-\rho^2}-1\right ) = \frac{\pi}{4}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=I%5E2%20%3D%20%5Cleft%20%28%20%5Cint_0%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%5C%2C%20d%5Ctheta%20%5Cright%20%29%20%5Cleft%20%28%20%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7D%5Crho%20e%5E%7B-%5Crho%5E2%7D%5C%2C%20d%5Crho%20%5Cright%20%29%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7D%5Crho%20e%5E%7B-%5Crho%5E2%7D%5C%2C%20d%5Crho%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cleft%20%28-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29%5Cint_0%5E%7B%5Cinfty%7D2%5Crho%20e%5E%7B-%5Crho%5E2%7D%5C%2C%20d%5Crho%20%3D%20-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%5Cleft%20%5B%20e%5E%7B-%5Crho%5E2%7D-1%5Cright%20%5D_0%5E%7B%5Cinfty%7D%20%3D-%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%5Cleft%20%28%5Clim_%7B%5Crho%20%5Cto%20%5Cinfty%7De%5E%7B-%5Crho%5E2%7D-1%5Cright%20%29%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "I^2 = \left ( \int_0^{\frac{\pi}{2}}\, d\theta \right ) \left ( \int_0^{\infty}\rho e^{-\rho^2}\, d\rho \right ) = \frac{\pi}{2}\int_0^{\infty}\rho e^{-\rho^2}\, d\rho = \frac{\pi}{2}\left (-\frac{1}{2} \right )\int_0^{\infty}2\rho e^{-\rho^2}\, d\rho = -\frac{\pi}{4}\left [ e^{-\rho^2}-1\right ]_0^{\infty} =-\frac{\pi}{4}\left (\lim_{\rho \to \infty}e^{-\rho^2}-1\right ) = \frac{\pi}{4}")
Así pues, tomando raices cuadradas obtenemos la solución a nuestra integral, el cual es:
Otra forma de obtener el mismo resultado es utilizando la Función Gamma, pero claro pierde la belleza de estudiarla de una forma más teórica usando las armas del Análisis Matemático.
Particularmente prefiero usar la forma aquí expuesta ya que soy muy perezoso para aprenderme nuevas fórmulas, manias que tengo 
Obviamente, siguiendo un razonamiento similar podemos demostrar un resultado más general, como es el calcular la integral:
Un par de enlaces para profundizar:
Integración Lebesgue
Biografía de Lebesgue, gran matemático francés.
Saludos :-h
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