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Dibujar Campo Vectorial De Una E.D.O

Enviado por el 3 septiembre, 2009 2 comentarios

Hola, llevo ya meses intentando ver cómo podía dibujar el campo vectorial de una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). Primero probé con la función quiver que implementan tanto Octave como Matplotlib, pero no entiendo muy bien el significado de la función en sus 3ª y 4ª componentes (U y V), y al dibujarlo me cambiaba la orientación de los vectores en los cuadrante 2º y 3º. Hoy me he decidido a probar con Scilab y lo he conseguido utilizando la función fchamp, desgraciadamente esta función no viene definida ni en Octave ni en Matplotlib; y el caso es que es una función definida con el único propósito de dibujar el campo vectorial de una E.D.O., no lo es así con la función quiver.

Bueno veamos un ejemplo de ello:

Queremos dibujar el campo vectorial de la E.D.O. lineal y\prime = x+y con la variable x variando entre -6 y 6; y la y variando entre -10 y 10. Lo único que hay que hacer es definir la función, los intervalos de las variables y ejecutar fchamp. El código es:

function ydot=f(x,y),ydot=x+y,endfunction
x=-6:1:6;
y=-10:1:10;
fchamp(f,0,x,y)

Y el resultado lo podéis apreciar en la siguiente imagen.
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Como se ve el resultado es más que óptimo, el código es claro y sencillo. Ahora sólo falta averiguar cómo hacerlo en Octave o en Matplotlib.

Saludos :-)

Problema 3 Examen Oposición Valencia 2008

Enviado por el 2 septiembre, 2009 Comentarios desactivados

ENUNCIADO

Sea f la función que a un número real x le asocia:
f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}
\qquad x\longmapsto\int_{0}^{1}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt

1. Demostrar que la función f es continua en el conjunto de los números reales.
2. Utilizando la definición de derivada, demostrar que para todo número real x se tiene:
f\prime (x)=-\int_{0}^{1} e^{-x(1+t^2)} \, dt
3. Calcular f(0) , y los siguientes límites: \lim_{x\to +\infty}f(x) ; \lim_{x\to -\infty}f(x)

Definamos para todo número real x la función g a partir de la función f como g(x)=f(x^2)

4. Demostrar que g\prime (x)=-2e^{-x^2}\int_0^x e^{-t^2} \, dt ; y deducir a partir de dicha derivada que
g(x)+(\int_0^x e^{-t^2} \, dt )^2 = \frac{\pi}{4}

5. Calcula el siguiente límite: \lim_{x \to +\infty}\int_0^x e^{-t^2} \, dt

SOLUCIÓN

1.) Tenemos que (1+t^2)>0\qquad\forall x\in\mathbb{R} , en particular, no se anula en el intervalo compacto [0,1]. Y además es continua por ser polinómica. Claramente la función exponencial es continua en toda la recta real, en particular en [0,1]. Así pues tenemos que existe la integral de Riemann en [0,1], y podemos concluir que la función f es continua en toda la recta real.

2.) Para demostrar dicha igualdad usaremos la definición de derivada de una función via límites. Sea h>0 un número real:
f(x+h)=\int_0^1 \frac{e^{-(x+h)(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt=\int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}e^{-h(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt
f(x+h)-f(x)=\int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}e^{-h(1+t^2)}-e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt=\int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}[e^{-h(1+t^2)}-1]}{1+t^2} \, dt
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{h} \int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}[e^{-h(1+t^2)}-1]}{1+t^2} \, dt=\int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} [\frac{e^{-h(1+t^2)}-1}{h}] \, dt
f\prime (x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} [\frac{e^{-h(1+t^2)}-1}{h}] \, dt =
=\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}[\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{e^{h(1+t^2)}}-1}{h}] \, dt =
=\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}[\lim_{h \to 0}\frac{1-e^{h(1+t^2)}}{he^{h(1+t^2)}}] \, dt = ( \frac{0}{0} INDETDO. L’Hôpital )=
=\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}[\lim_{h \to 0}\frac{-(1+t^2)e^{h(1+t^2)}}{e^{h(1+t^2)}+(1+t^2)he^{h(1+t^2)}}] \, dt =\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}[\frac{-(1+t^2)}{1+0}] \, dt= -\int_0^1 e^{-x(1+t^2)} \, dt

Y esto era precisamente lo que queríamos demostrar.

3.) Calculemos primero f(0)
f(0)=\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}=[arctg(t)]_0^1=arctg(1)-arctg(0)=\frac{\pi}{4}
\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt=\int_0^1\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt=
\int_0^1\frac{1}{1+t^2}\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{e^{x(1+t^2)}} \, dt=0
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty}\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt=\int_0^1\lim_{x\to -\infty}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt=
\int_0^1\frac{1}{1+t^2}\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{e^{x(1+t^2)}} \, dt=\int_0^1\frac{1}{1+t^2}\frac{1}{e^{-\infty}} \, dt=\infty
Obviamente, los intercambios realizados entre límite e integral son correctos gracias a que con anterioridad hemos demostrado la continuidad en toda la recta real de la función f

4.) Consideremos la función h definida como:
h:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}
\qquad x\longmapsto\ x^2
Al ser una función exponencial tenemos que es derivable con primera derivada h\prime (x)=2x . Así pues, la función g la podemos reescribir en función de la función h como:
g(x)=f(x^2)=f(h(x))=(f\circ h)(x) Aplicando la Regla de la Cadena para derivadas tenemos:
g\prime (x)=(f\circ h)\prime (x)=f\prime (h(x))h\prime (x)=2xf\prime (x^2)= Aplicando 2.)
=-2x\int_0^1 e^{-x^2(1+t^2)} \, dt=-2e^{-x^2}\int_0^1 xe^{(xt)^2} \, dt Hacemos el cambio de variable u=xt;\qquad du=xdt Obteniendo:
g\prime (x)=-2e^{-x^2}\int_0^x e^{-u^2} \, du
Así pues, identificando u por t en el último término anterior obtenemos g\prime (x)=-2e^{-x^2}\int_0^x e^{-t^2} \, dt . Y así queda demostrada la primera parte del punto 4.
La segunda parte del punto 4 no la he podido resolver todavía. Por favor, si alguien sabe cómo hacerlo que me lo comente. Creo que me he encabezonado en hacerlo de una forma y por eso no hay tu tia.

5.) \lim_{x\to +\infty}\int_0^x e^{-t^2}dt=\int_0^\infty e^{-t^2}dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

Esto se puede ver hecho en este enlace

Si alguien ve algo mal que lo comente ;-)

En los comentarios podeis escribir en latex, sólo debéis anteponer a vuestro código látex lo siguiente: $latex luego dejad un espacio en blanco y empezad a escribir en latex según esta guía, terminad el código con el símbolo $; y ya esta ;-)

Saludos :-)

Problema 2 Examen Oposición Valencia 2008

Enviado por el 1 septiembre, 2009 Comentarios desactivados

ENUNCIADO

Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos rectas que generan dos cuerdas AB y CD de longitudes respectivas 10 y 7 unidades. Sabiendo que las dos rectas forman un ángulo de 60º y que la distancia de P a B es de 8 unidades, calcule el radio de la circunferencia.

SOLUCIÓN

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La potencia de P respecto la circunferencia es:

PA\cdot PB = 18\cdot 8 = 144

Dicha potencia respecto de x = PD es:

PD\cdot PC = x\cdot (x+7) = 144

Obteniendo la ecuación x^2+7x-144 = 0 con solución x = PD = 9 , por ser x positivo.

La proyección de PA sobre la recta PC es PA\cdot\cos(60) = 18\cdot 0.5 = 9 , que es PD. Por tanto, el ángulo de PDA es recto. Quedando la figura así:

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En particular, CA es un diámetro, por lo que CA = 2r , siendo r el radio de la circunferencia. Por el teorema del coseno en el triángulo PCA se tiene:
AC^2=PC^2+PA^2-2\cdot PC\cdot PA\cdot \cos(60)=16^2+18^2-2\cdot 16\cdot 18\cdot 0.5=292

Luego (2r)^2 = 292 \rightarrow r = \sqrt{73}

Fuente-> La publicidad de DEIMOS que me dieron durante las opos del 2009. Son una de las grandes mafias en el campo de las oposiciones de las matemáticas.

Saludos :-)

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