Problema 1 Examen Oposición Valencia 2008

Enviado por el 18 marzo, 2009

El enunciado del problema reza así:

“Llamemos M(x,y,z) a la matriz cuadrada de orden 3 de la forma \left( \begin{array}{ccc}1 & x & y \\0 & 1 & z \\0 & 0 & 1\end{array} \right) , con x,y,z números enteros.
a) Probar que el conjunto A formado por estas matrices M(x,y,z) forman un grupo respecto el producto de matrices.
b) Hallar el conjunto B de matrices de A que conmutan con toda matriz de este grupo.
c) Probar que B es un subgrupo de A isomorfo al grupo Z de los enteros.”

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA:

a) Tenemos que el conjunto A viene definido de la forma:
A=\{M(x,y,z)\in M_{3}(\mathbb{Z})/ M(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}1&x&y\\0&1&z\\0&0&1\\\end{array}\right)\quad x,y,z\in\mathbb{Z}\}
Siendo M_{3}(\mathbb{Z}) el conjunto de matrices cuadradas de orden 3 con elementos todos ellos pertenecientes al conjunto de los números enteros.
Lo primero es demostrar que A es un conjunto, lo cual es equivalente a ver que A está bien definido. Para ello basta ver que A es un conjunto no vacío; pero esto es evidente; ya que la matriz M(0,0,0) pertenece por la propia definición de A al conjunto A. Así pues tenemos que A es un conjunto no vacío.
Hay que hacer notar que M(0,0,0) es la matriz identidad de orden 3, denotada aquí por I_3
El siguiente paso es ver que (A,\cdot ) es un grupo, para lo cual hemos de ver que se cumple la propiedad asociativa, y que existen los elementos neutro e inverso en A con el producto de matrices.
(1)Asociativa:
Sean las matrices M,N,P\in A \rightarrow (MN)P=M(NP) ?
Notemos que en M_{3}(\mathbb{R}) se cumple la propiedad asociativa por ser grupo. Como \mathbb{Z}\subset\mathbb{R} se tiene pues que M_{3}(\mathbb{Z})\subset M_{3}(\mathbb{R}); y como es evidente que A\subset M_{3}(\mathbb{Z}) ; podemos concluir que en A se cumple la propiedad asociativa con el producto matricial.
(2)Neutro:
Sean x,y,z\in\mathbb{Z}. Veamos que M(0,0,0)=I_3\in A es el elemento neutro que buscamos.
M(x,y,z)M(0,0,0)=M(x,y,z)=M(0,0,0)M(x,y,z) es una mera comprobación que se cumple.
Así pues M(0,0,0)=I_3\in A es el elemento neutro de A.
(3)Inverso:
Hemos de demostrar lo siguiente:
\exists N(x,y,z)\in A / M(x,y,z)N(x,y,z)=N(x,y,z)M(x,y,z)=I_3\quad \forall M(x,y,z)\in A\quad\forall x,y,z\in \mathbb{Z}\quad ?
Para demostrarlo utilizaremos el siguiente resultado conocido:
Proposición:
“Toda matriz triangular superior T es inversible sii el producto de los elementos de su diagonal principal es no nulo.
Además, su matriz inversa también es una matriz triangular superior en la que los elementos de su diagonal principal son los inversos de los elementos de la diagonal principal de la matriz T”

Sea una matriz cualquiera M(x,y,z)\in A, la cual por su estructura sabemos que es una matriz triangular superior en el que el producto de los elementos de su diagonal principal siempre es 1, no nulo. Por lo tanto, por la Proposición anterior tenemos que M(x,y,z) es una matriz invertible (o inversible) del conjunto A; o lo que es lo mismo, posee inversa.
Pasemos a calcular su inversa. Denotemos a la inversa de M(x,y,z) como:
N(b,c,f)= \left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{array}\right)\quad\forall a,b,c,d,e,f,g,h,i\in\mathbb{Z}
Por la Proposición anterior sabemos que N(b,c,f) es triangular superior, por lo que d=g=h=0 y además, por la misma Proposición tenemos que a=e=i=\frac{1}{1}. Así pues:
N(b,c,f)= \left(\begin{array}{ccc}1&b&c\\0&1&f\\0&0&1\\\end{array}\right)\quad\forall a,b,c,d,e,f,g,h,i\in\mathbb{Z}
Calculemos b,c,f\in\mathbb{Z} en función de x,y,z\in\mathbb{Z}. Para ello es suficiente montar y resolver el sistema de ecuaciones lineales M(x,y,z)N(b,c,f)=I_3
Por meros cálculos rutinarios se llega a que la solución de dicho sistema lineal es:
b=-x\quad c=xz-y\quad f=-z
Así pues hemos demostrado lo siguiente:
\forall M(x,y,z)\in A \exists M^{-1}(x,y,z)=M(-x,xz-y,-z)\in A/M(x,y,z)M(-x,xz-y,-z)=M(-x,xz-y,-z)M(x,y,z)=M(0,0,0)=I_3\quad\forall x,y,z\in\mathbb{Z}
Es decir, hemos demostrado que A posee inverso y lo hemos calculado, que es lo que queríamos. Notar que no hacía falta calcular el elemento inverso, sólo era necesario probar su existencia.
Concluimos pues, por (1)+(2)+(3) que (A,\cdot ) es un Grupo, como queríamos demostrar.
b) Denotemos el conjunto B como:
B=\{M(x,y,z)\in A/ M(x,y,z)M(a,b,c)=M(a,b,c)M(x,y,z)\quad\forall M(x,y,z)\in A\quad\forall x,y,z,a,b,c\in\mathbb{Z}\}
Antes de resolver el apartado nos vendrá bien por motivos de notación y ahorro de tiempo averiguar una expresión sencilla del producto de dos matrices cualesquiera pertenecientes al conjunto A:
M(x,y,z)M(p,q,r)=\left(\begin{array}{ccc}1&x&y\\0&1&z\\0&0&1\\\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&p&q\\0&1&r\\0&0&1\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&p+x&q+rx+y\\0&1&r+z\\0&0&1\\\end{array}\right)=M(x+p,xr+y+q,z+r)
Así pues obtenemos la identidad: M(x,y,z)M(p,q,r)=M(x+p,xr+y+q,z+r), y que es la que utilizaremos en el resto del problema para el producto de matrices. Pasemos a resolver el apartado.
Como M(a,b,c)\in A, se tiene que M(a,b,c) es una matriz triangular superior. Tenemos los siguientes productos:
M(x,y,z)M(a,b,c)=M(x+a, xc+y+b,z+c)
M(a,b,c)M(x,y,z)=M(x+a,y+az+b,z+c)
Igualando ambas expresiones obtenemos que cx=az Distinguimos tres casos:
(1)Si x\ne 0\rightarrow c=\frac{z}{x}a
(2)Si x=0\rightarrow b+c\cdot 0+y=y+az+b\rightarrow a=0\quad (Si\quad z\ne 0)
(3)Si z=0\rightarrow b+cx+y=y+b\rightarrow cx=0\rightarrow c=0
Luego:
B=\{M(a,b,c)\in A/ M(0,b,c),\quad M(a,b,0),\quad M(a,b,\frac{z}{x}a)\}=\{M(a,b,c)\in A/M(a,b,0),\quad M(a,b,\frac{z}{x}a)\quad\forall ab,c,x,z\in\mathbb{Z},x\ne 0\}
c) Veamos que B\le A. Para ello aplicaremos el siguiente Teorema:
Teorema:
“Sea G un grupo no vacío. Sea H un subconjunto no vacío de G. Se cumple:
H\le G\leftrightarrow xy^{-1}\in H\quad\forall x,y\in H“

Sean a,b,z,x\in\mathbb{Z}\quad con\quad x\ne 0
M(a,b,0)\in A\rightarrow M^{-1}(a,b,0)=M(1,-a,-b,0)
M(a,b,\frac{z}{x}a)\in A\rightarrow M^{-1}(a,b,\frac{z}{x}a)=M(-a,\frac{z}{x}a^2-b,\frac{-z}{x}a)
Calculemos las cuatro combinaciones posibles de los productos de entre ambas matrices y veamos que todos cuatro pertenecen al conjunto B:
M(a,b,0)M^{-1}(a,b,\frac{z}{x}a)=M(a,b,0)M(-a,\frac{z}{x}a^2-b,\frac{-z}{x}a)=M(0,\frac{z}{x}a^2+a(\frac{-z}{x}a),\frac{-z}{x}a)=M(0,0,\frac{z}{x}(-a))\in B
M(a,b,0)M^{-1}(a,b,0)=M(a,b,0)M(-a,-b,0)=M(0,0,0)\in B
M(a,b,\frac{z}{x}a)M^{-1}(a,b,0)=M(a,b,\frac{z}{x}a)M(-a,-b,0)=M(0,0,\frac{z}{x}a)\in B
M(a,b,\frac{z}{x}a)M^{-1}(a,b,\frac{z}{x}a)=M(a,b,\frac{z}{x}a)M(-a,\frac{z}{x}a^2-b,\frac{-z}{x}a)=M(0,b+\frac{z}{x}a^2-b-\frac{z}{x}a^2,0)=M(0,0,0)\in B
Luego de todo ello concluimos que B\le A, como queríamos demostrar.
Veamos que B\cong\mathbb{Z}, es decir; que B es Isomorfo a \mathbb{Z}.
Consideremos:
t=\frac{z}{x}\quad si\quad x\ne 0\quad t=0\quad si\quad x=0
Definimos la aplicación:
f:(\mathbb{Z},+)\longrightarrow(B,\cdot ) definida por f(t)=M(a,b,t\cdot a)
Veamos que f es un Isomorfismo, es decir; que f es Lineal (Homomorfismo), y biyectiva. Sean t,t^\prime\in\mathbb{Z}
f(t)f(t^\prime )=M(a,b,ta)M(a,b,t^\prime a)=M(2a, 2b+t^\prime a^2,(t+t^\prime )a)=f(t+t^\prime )
f(\lambda t)=M(a,b,\lambda ta)=\lambda M(a,b,ta)=\lambda f(t)\quad\forall\lambda\in\mathbb{R}
Luego f es una aplicación lineal u homomorfismo.
Supongamos que f(t)=f(t^\prime )\rightarrow M(a,b,ta)=M(a,b,t^\prime a) Igualando los elementos correspondientes de ambas matrices obtenemos que ta=t^\prime a\rightarrow t=t^\prime \forall t,t^\prime\in\mathbb{Z}\quad a\ne 0
Luego con esto demostramos que f es Inyectiva o Monomorfismo.
Por la propia definición de f se tiene que:
\forall\quad M(a,b,c)\in B, \exists t=\frac{z}{xa}c\in\mathbb{Z} / f(t)=f(\frac{z}{x}a)=M(a,b,\frac{z}{xa}ca)=M(a,b,c)
Luego f es Suprayectiva o Epimorfismo.
Por tanto, hemos demostrado que f es un Isomorfismo, que es lo mismo que decir que hemos demostrado que B\cong\mathbb{Z}, como queríamos demostrar.

Saludos :)

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2 Comentarios.

  1. Manolo 24 marzo, 2009 @18:06

    Bonito problema y bonita resolución.

  2. Cristobal 25 marzo, 2009 @7:08

    Gracias Manolo, la resolución esta me ha costado lo mio, sobretodo sacar el isomorfismo, cuando hice el examen esa parte no hubo forma, así de sopetón y con la presión que te meten es imposible.