Problema 2 Examen Oposición Valencia 2008

ENUNCIADO

Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan dos rectas que generan dos cuerdas AB y CD de longitudes respectivas 10 y 7 unidades. Sabiendo que las dos rectas forman un ángulo de 60º y que la distancia de P a B es de 8 unidades, calcule el radio de la circunferencia.

SOLUCIÓN

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La potencia de P respecto la circunferencia es:

PA\cdot PB = 18\cdot 8 = 144

Dicha potencia respecto de x = PD es:

PD\cdot PC = x\cdot (x+7) = 144

Obteniendo la ecuación x^2+7x-144 = 0 con solución x = PD = 9 , por ser x positivo.

La proyección de PA sobre la recta PC es PA\cdot\cos(60) = 18\cdot 0.5 = 9 , que es PD. Por tanto, el ángulo de PDA es recto. Quedando la figura así:

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En particular, CA es un diámetro, por lo que CA = 2r , siendo r el radio de la circunferencia. Por el teorema del coseno en el triángulo PCA se tiene:
AC^2=PC^2+PA^2-2\cdot PC\cdot PA\cdot \cos(60)=16^2+18^2-2\cdot 16\cdot 18\cdot 0.5=292

Luego (2r)^2 = 292 \rightarrow r = \sqrt{73}

Fuente-> La publicidad de DEIMOS que me dieron durante las opos del 2009. Son una de las grandes mafias en el campo de las oposiciones de las matemáticas.

Saludos

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