Problema 3 Examen Oposición Valencia 2008

por | 2 septiembre, 2009

ENUNCIADO

Sea f la función que a un número real x le asocia:
f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}
\qquad x\longmapsto\int_{0}^{1}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}  \, dt

1. Demostrar que la función f es continua en el conjunto de los números reales.
2. Utilizando la definición de derivada, demostrar que para todo número real x se tiene:
f\prime (x)=-\int_{0}^{1} e^{-x(1+t^2)}  \, dt
3. Calcular f(0) , y los siguientes límites: \lim_{x\to +\infty}f(x) ; \lim_{x\to -\infty}f(x)

Definamos para todo número real x la función g a partir de la función f como g(x)=f(x^2)

4. Demostrar que g\prime (x)=-2e^{-x^2}\int_0^x e^{-t^2}  \, dt ; y deducir a partir de dicha derivada que
g(x)+(\int_0^x e^{-t^2}  \, dt )^2 = \frac{\pi}{4}

5. Calcula el siguiente límite: \lim_{x \to +\infty}\int_0^x e^{-t^2}  \, dt

SOLUCIÓN

1.) Tenemos que (1+t^2)>0\qquad\forall x\in\mathbb{R} , en particular, no se anula en el intervalo compacto [0,1]. Y además es continua por ser polinómica. Claramente la función exponencial es continua en toda la recta real, en particular en [0,1]. Así pues tenemos que existe la integral de Riemann en [0,1], y podemos concluir que la función f es continua en toda la recta real.

2.) Para demostrar dicha igualdad usaremos la definición de derivada de una función via límites. Sea h>0 un número real:
f(x+h)=\int_0^1 \frac{e^{-(x+h)(1+t^2)}}{1+t^2}  \, dt=\int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}e^{-h(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt
f(x+h)-f(x)=\int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}e^{-h(1+t^2)}-e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}  \, dt=\int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}[e^{-h(1+t^2)}-1]}{1+t^2}  \, dt
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{h} \int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}[e^{-h(1+t^2)}-1]}{1+t^2}  \, dt=\int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} [\frac{e^{-h(1+t^2)}-1}{h}]  \, dt
f\prime (x)= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0} \int_0^1 \frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} [\frac{e^{-h(1+t^2)}-1}{h}]  \, dt =
=\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}[\lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{e^{h(1+t^2)}}-1}{h}]  \, dt =
=\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}[\lim_{h \to 0}\frac{1-e^{h(1+t^2)}}{he^{h(1+t^2)}}]  \, dt =  ( \frac{0}{0} INDETDO. L’Hôpital )=
=\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}[\lim_{h \to 0}\frac{-(1+t^2)e^{h(1+t^2)}}{e^{h(1+t^2)}+(1+t^2)he^{h(1+t^2)}}]  \, dt =\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}[\frac{-(1+t^2)}{1+0}]  \, dt= -\int_0^1 e^{-x(1+t^2)}  \, dt

Y esto era precisamente lo que queríamos demostrar.

3.) Calculemos primero f(0)
f(0)=\int_0^1\frac{dt}{1+t^2}=[arctg(t)]_0^1=arctg(1)-arctg(0)=\frac{\pi}{4}
\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty}\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}  \, dt=\int_0^1\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}  \, dt=
\int_0^1\frac{1}{1+t^2}\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{e^{x(1+t^2)}}  \, dt=0
\lim_{x\to -\infty} f(x)=\lim_{x\to -\infty}\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}  \, dt=\int_0^1\lim_{x\to -\infty}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}  \, dt=
\int_0^1\frac{1}{1+t^2}\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{e^{x(1+t^2)}}  \, dt=\int_0^1\frac{1}{1+t^2}\frac{1}{e^{-\infty}}  \, dt=\infty
Obviamente, los intercambios realizados entre límite e integral son correctos gracias a que con anterioridad hemos demostrado la continuidad en toda la recta real de la función f

4.) Consideremos la función h definida como:
h:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}
\qquad x\longmapsto\ x^2
Al ser una función exponencial tenemos que es derivable con primera derivada h\prime (x)=2x . Así pues, la función g la podemos reescribir en función de la función h como:
g(x)=f(x^2)=f(h(x))=(f\circ h)(x) Aplicando la Regla de la Cadena para derivadas tenemos:
g\prime (x)=(f\circ h)\prime (x)=f\prime (h(x))h\prime (x)=2xf\prime (x^2)= Aplicando 2.)
=-2x\int_0^1 e^{-x^2(1+t^2)}  \, dt=-2e^{-x^2}\int_0^1 xe^{(xt)^2}  \, dt Hacemos el cambio de variable u=xt;\qquad du=xdt Obteniendo:
g\prime (x)=-2e^{-x^2}\int_0^x e^{-u^2}  \, du
Así pues, identificando u por t en el último término anterior obtenemos g\prime (x)=-2e^{-x^2}\int_0^x e^{-t^2}  \, dt . Y así queda demostrada la primera parte del punto 4.
La segunda parte del punto 4 no la he podido resolver todavía. Por favor, si alguien sabe cómo hacerlo que me lo comente. Creo que me he encabezonado en hacerlo de una forma y por eso no hay tu tia.

5.) \lim_{x\to +\infty}\int_0^x e^{-t^2}dt=\int_0^\infty e^{-t^2}dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

Esto se puede ver hecho en este enlace

Si alguien ve algo mal que lo comente

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