Resolver La Integral De La Exponencial Cuadrática

Hola, veamos un método analítico para resolver la integral siguiente:

I = \int_{0}^{\infty} e^{-t^2}\, dt

Para ello lo que haremos es elevar al cuadrado dicha integral, obteniendo así una integral doble de la siguiente forma:

I^2= \left ( \int_{0}^{\infty} e^{-t^2}\, dt \right)^{2} =\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\, dx \int_{0}^{\infty} e^{-y^2}\, dy

Esto lo podemos hacer gracias a que la función exponencial a integrar es una función Integrable Lebesgue y como consecuencia de la aplicación del Teorema de Fubini. Así pues tenemos:

I^2= \left ( \int_{0}^{\infty} e^{-t^2}\, dt \right)^{2} =\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\, dx \int_{0}^{\infty} e^{-y^2}\, dy = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}-y^{2}} dx dy

Ahora aplicaremos el Teorema del Cambio de Variable Para Varias Variables Reales mediante el cambio x = \rho \cos \theta  y = \rho \sin \theta a la última integral, obteniendo así:

I^2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty} \rho e^{-\rho^2}\, d\rho\, d\theta

Como la función exponencial \|\rho e^{-\rho^2}\| es Integrable Lebesgue en \left [0,\frac{\pi}{2}\right ] \times \left [0,\infty\right ] , por ser una función estrictamente positiva y continua en dicho intervalo; así pues podemos volver a aplicar el Teorema de Fubini obteniendo:

I^2 = \left ( \int_0^{\frac{\pi}{2}}\, d\theta \right ) \left ( \int_0^{\infty}\rho e^{-\rho^2}\, d\rho \right ) = \frac{\pi}{2}\int_0^{\infty}\rho e^{-\rho^2}\, d\rho = \frac{\pi}{2}\left (-\frac{1}{2} \right )\int_0^{\infty}2\rho e^{-\rho^2}\, d\rho = -\frac{\pi}{4}\left [ e^{-\rho^2}-1\right ]_0^{\infty} =-\frac{\pi}{4}\left (\lim_{\rho \to \infty}e^{-\rho^2}-1\right ) = \frac{\pi}{4}

Así pues, tomando raices cuadradas obtenemos la solución a nuestra integral, el cual es:

I = \int_{0}^{\infty} e^{-t^2}\, dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

Otra forma de obtener el mismo resultado es utilizando la Función Gamma, pero claro pierde la belleza de estudiarla de una forma más teórica usando las armas del Análisis Matemático.
Particularmente prefiero usar la forma aquí expuesta ya que soy muy perezoso para aprenderme nuevas fórmulas, manias que tengo
Obviamente, siguiendo un razonamiento similar podemos demostrar un resultado más general, como es el calcular la integral:

I = \int_{0}^{\infty} e^{kt^2}\, dt \; \forall \; k \in \; \Re \; no nulo

Un par de enlaces para profundizar:

Integración Lebesgue
Biografía de Lebesgue, gran matemático francés.
Saludos :-h

8 Responses to“Resolver La Integral De La Exponencial Cuadrática”

  1. 16 diciembre, 2008 at 23:25 #

    Son bonitas y elegantes las matemáticas. Qué pena, que pena que no las diese cañita en el instituto y luego en la carrera tuviese que aprender a marchas forzadas.

    Cuando estoy haciendo un problema siempre me entretengo en los cálculos para experimentar un poco… eso si, en el examen más vale que salga todo como la seda, que sino empiezo a sudar. :-S

  2. 17 diciembre, 2008 at 0:54 #

    Muy bueno el cálculo, no lo conocía. Respecto a la manía de no aprenderte nuevas fórmulas: se nota que eres matemático.

  3. abi
    8 enero, 2009 at 2:01 #

    oa son muy buenos ejemplos lo k pones pero ojala deveras los acprovecharan ademas d k no conocia estas formulas son mas faciles k las k me enseñaron en mi escuela

  4. 25 mayo, 2009 at 11:10 #

    Y qué pasa si el exponente de t es distinto de 2???

  5. JJJ
    2 enero, 2010 at 19:40 #

    Una cosa, lo último que comentas es incorrecto, se puede obtener a partir de la función de distribución normal N(0,1) no de la Gamma. Sería:

    Integral [1/raiz(2*pi)*exp(-1/2(x^2) dx ] = 1 entre -inf e inf, por tanto al ser una función par entre 0 e inf. queda la mitad luego Integral[ exp(-1/2*x^2) dx ]=raiz(2*pi)/2=Raiz(pi/2) entre o e inf. y haciendo un cambio de variable t=x/raiz(2) te queda el resultado.

  6. AlexMurphy
    25 febrero, 2010 at 17:13 #

    La respuesta es raiz de pi es una integral gausiana

    http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Gauss

  7. 26 febrero, 2010 at 14:53 #

    Exacto AlexMurphy, un positivo

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